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San Sebastián University, Concepción**We aren't endorsed by this school

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CIENCIAS PROBABILID

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Dec 22, 2024

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Uploaded by MateCaribouMaster515

Tests de repasoRepaso de probabilidad1.Si nos dicen que la probabilidad de la evidencia (A) en un juicio suponiendoque el acusado sea inocente (B) es de 0.01, entonces:(a)0.01 =P(A|B).(b)0.01 =P(B|A).(c)0.01 =P(A∩B).(d)0.01 =P(A∪B).2. ¿Cu´al de las siguientes condiciones NO cumple un proceso de Bernoulli?(a) Las repeticiones son independientes.(b) Las variables toman los valores 0 y 1.(c) La probabilidad de ´exito es 0.5 en todas las repeticiones.(d) La probabilidad de ´exito es la misma en todas las repeticiones.3.Si las llegadas por hora siguen una distribuci´on de Poisson con par´ametro 4,el tiempo entre llegadas (en minutos) sigue una distribuci´on:(a)exp(4).(b)exp(1/15).(c)exp(240).(d)P(240).4.¿Cu´al de las siguientes distribuciones cumple la propiedad de falta de me-moria?(a) Binomial.(b) Poisson.(c) Normal.(d) Exponencial.5.Una sucesi´on de variables aleatorias se dice independiente cuando son inde-pendientes dos a dos.(a) Verdadero.1

(b) Falso.Introducci´on a los procesos estoc´asticos6.¿C´omo es el proceso estoc´asticoXt:=‘n´umero de aver´ıas acumuladas hastael instantet’?(a) A tiempo discreto, con conjunto de estados continuo.(b) A tiempo discreto, con conjunto de estados discreto.(c) A tiempo continuo, con conjunto de estados continuo.(d) A tiempo continuo, con conjunto de estados discreto.7.¿Y el procesoXn:=‘proporci´on de simpatizantes de un partido entre lasprimeras n personas entrevistadas’?(a) A tiempo discreto, con conjunto de estados continuo.(b) A tiempo discreto, con conjunto de estados discreto.(c) A tiempo continuo, con conjunto de estados continuo.(d) A tiempo continuo, con conjunto de estados discreto.8.SiXtrepresenta el precio de venta de un producto en el instante t, el proceso{Xt}t...(a) Es de incrementos independientes pero no estacionarios.(b) Es de incrementos estacionarios pero no independientes.(c) Es de incrementos independientes y estacionarios.(d) No es de incrementos independientes ni estacionarios.9. ¿Cu´ando se dice que un proceso es d´ebilmente estacionario?(a) Cuando su vector de medias es constante en 0.(b) Cuando su vector de medias es constante.(c)Cuando su vector de medias es constante en 0 y la funci´on de autocov-arianzas s´olo depende de las diferencias.(d)Cuando su vector de medias es constante y la funci´on de autocovarianzass´olo depende de las diferencias.10.¿Cu´al de las siguientes condiciones es cumplida por un proceso fuertementeestacionario?2

(a)(X1, X3)sigue la misma distribuci´on que(X2, X4).(b)(X1, X3)sigue la misma distribuci´on que(X1, X4).(c) Las variables son independientes e id´enticamente distribuidas.(d) Los incrementos siguen una distribuci´on gaussiana.Cadenas de Markov a tiempo discreto11. ¿Qu´e propiedad fundamental tienen las cadenas de Markov?(a) Los incrementos son variables i.i.d.(b) El futuro s´olo depende del pasado a trav´es del presente.(c) El futuro es independiente del presente.(d) Poseen siempre una distribuci´on estacionaria.12.¿Qu´e relaci´on hay entre las variables deXn+1|XnyX1|X0en una cadenade Markov?(a) Son id´enticamente distribuidas.(b) Ninguna.(c) Son id´enticamente distribuidas, si la cadena de Markov es homog´enea.(d) SiPes la matriz de transici´on, la distribuci´on deXn+1|XnesPn.13.En una cadena de Markov con estados 1,2,3 y 4 la transici´on se produce decada estado a uno diferente de manera aleatoria. ¿Cu´al ser´ıaP(X1= 3|X0=1)?(a) Necesitar´ıamos conocer la matriz de transici´on.(b) 2/9.(c) 1/4.(d) 1/3.14. ¿YP(X2= 3|X0= 1)?(a) Necesitar´ıamos conocer la matriz de transici´on en dos etapas.(b) 2/9.(c) 1/4.(d) 1/3.3

15.¿Y cu´al ser´ıa la probabilidad de queX2= 3si el estado inicial es aleatorio?(a) Necesitar´ıamos conocer la matriz de transici´on.(b) 2/9.(c) 1/4.(d) 1/3.16.Si la probabilidad de retornar una vez al estadoies 0.8, ¿cu´al es la probabil-idad de retornar 3 veces?(a)0.83.(b) 0.8.(c)1-0.23.(d)0.8/3.17. Un estado para el que una vez llegado a ´el ya no volvemos a salir se dice...(a) Transitorio.(b) Irreducible.(c) Recurrente.(d) Absorbente.18. ¿Qu´e ocurre si un estadoicomunica con un estado absorbentej?(a) Queies necesariamente un estado recurrente.(b) Queies necesariamente un estado transitorio.(c) Queies necesariamente un estado absorbente.(d) Es imposible que se tenga esta comunicaci´on.19.Si existe alguna potenciande la matriz de transici´on en la quepn(i, j)>0para todoi, j, entonces:(a) Todos los estados son recurrentes.(b) Todos los estados son transitorios.(c) Es seguro que existe la distribuci´on estacionaria.(d) La cadena de Markov es peri´odica.20. ¿Es posible que una cadena de Markov tenga s´olo estados transitorios?(a) S´ı, pero s´olo si el n´umero de estados es finito.4

(b) S´ı, pero s´olo si el n´umero de estados es infinito.(c)S´ı, tanto con una cantidad finita como con una cantidad infinita deestados.(d) No.21. Si dos estados comunican entre s´ı entonces han de tener el mismo per´ıodo.(a) Verdadero.(b) Falso.22.Supongamos que para cierto estadoxse cumple quepn(x, x)>0si y s´olo sinno es primo. Entonces:(a) El per´ıodo dexes 1.(b) El per´ıodo dexes distinto de1.(c) Es imposible que se d´e esta situaci´on.(d) Necesitamos m´as informaci´on para calcular el per´ıodo dex.23. Una cadena peri´odica no puede tener distribuci´on estacionaria.(a) Verdadero.(b) Falso.24.¿Cu´al de las siguientes condiciones garantiza la existencia de una distribuci´onestacionaria?(a) La matriz de transici´on es irreducible.(b) El conjunto de estados es finito.(c) La cadena de Markov es peri´odica.(d) El conjunto de estados es infinito.25.¿Qu´e ocurre si una distribuci´on satisface la condici´on de equilibrio minu-cioso?(a) Puede que sea una distribuci´on estacionaria, y puede que no.(b) Es necesariamente una distribuci´on estacionaria.(c) La matriz de transici´on ha de ser doblemente estoc´astica.(d) No puede haber estados absorbentes.Martingalas5

26.Un proceso{Xn}nen el que la esperanza deXn+1condicionada al valor de(X1, . . . , Xn)es siempre inferior al valor deXnes una:(a) Martingala.(b) Submartingala.(c) Supermartingala.(d) Puede ser una martingala, una submartingala o una supermartingala.27. Un camino aleatorio de media 0 es una:(a) Martingala.(b) Submartingala.(c) Supermartingala.(d) Puede ser una martingala, una submartingala o una supermartingala.28.Si va evoluci´on de los precios de mercado es un proceso{Xn}ni.i.d. conE(Xn) = 1.2y nuestra inversi´on inicial deY0se convierte enYn=Y0·X1·· · · ·Xn, el proceso{Yn}nes una:(a) Martingala.(b) Submartingala.(c) Supermartingala.(d) Puede ser una martingala, una submartingala o una supermartingala.29.Consideramos un camino aleatorio en el que las ganancias son 1 y -1 conprobabilidades 0.5 y 0.5, y en el que el criterio de parada es llegar a ganar 10o perder 5. ¿Cu´al es la probabilidad de parar porque hayamos ganado 10?(a) 1/2.(b) 2/3.(c) 0.015.(d) 1/3.30. ¿Y si las ganancias son 1 y -1 con probabilidades 0.4 y 0.6?(a) 1/2.(b) 2/3.(c) 0.015.(d) 1/3.6

Procesos de Poisson31.Se considera un proceso de Poisson en el que las llegadas por minuto siguenuna distribuci´on de Poisson con tasaλ= 2. ¿Qu´e distribuci´on sigue eln´umero de llegadas en la primera hora?(a)P(120).(b)P(60).(c)exp(2)(d)P(2).32.En un proceso de Poisson compuesto las llegadas por hora siguen una tasaλ= 6, y cada una lleva asociada un gasto que sigue una distribuci´onN(10,2).¿Cu´al es el gasto medio por hora?(a) Necesitamos m´as informaci´on.(b) 30.(c) 60.(d) 61.2.33.El n´umero de reclamaciones de los clientes normales sigue un proceso dePoisson con tasaλ1= 10, mientras que las reclamaciones de los clientespremium siguen un proceso de Poisson con tasaλ2= 5. ¿Qu´e modelo rige eltotal de reclamaciones?(a) Es un proceso de Poisson con tasa 15.(b) Es un proceso de Poisson con tasa 7.5.(c)Es un proceso de Poisson cuya tasa depende del porcentaje de clientesnormales y premium.(d) No podemos asegurar que sea un proceso de Poisson.34.En el modelo anterior, si se han producido 2 reclamaciones en la´ultima hora,¿qu´e probabilidad de que ambas sean de clientes normales?(a) 0.5.(b) 4/9.(c) 0.25.(d) 1/9.7

35.Si en un proceso de Poisson se han producido 2 llegadas en una hora, ¿qu´eprobabilidad hay de que ambas hayan ocurrido en los ´ultimos 30 minutos?(a) Necesitamos conocer la tasa de llegada del proceso.(b) 0.5.(c) 0.75.(d) 0.25.Procesos de renovaci´on36. Un proceso de Poisson es un caso particular de proceso de renovaci´on.(a) Verdadero.(b) Falso.37. En un proceso de renovaci´on, los tiempos entre renovaciones:(a) Siguen siempre una distribuci´on exponencial.(b) Son variables independientes e id´enticamente distribuidas.(c) No tienen por qu´e ser independientes.(d)Son variables independientes, pero no necesariamente id´enticamentedistribuidas.38.En un proceso de renovaci´on con recompensa los tiempos entre renovacionessiguen una uniforme en(0,6), mientras que la recompensa toma los valores10 y 20 con probabilidades respectivas 0.7 y 0.3. ¿Cu´al es la recompensamedia por unidad de tiempo?(a) 13.(b) 13/3.(c) 13/6.(d) 5.39.En un proceso de renovaci´on alternante el tiempo en el estado 1 sigue una ex-ponencialexp(3), y en el estado 2 una exponencialexp(4). ¿Qu´e porcentajede tiempo pasamos en media en el estado 1?(a) 3/4.(b) 3/7.8

(c) 4/7.(d) 1/2.40. En un proceso de renovaci´on obervamos la edad de la componente activa enel instantet. La edad media:(a) Coincide con la mitad tiempo medio de vida de las componentes.(b)Siempre es mayor o igual que la mitad del tiempo medio de vida de lascomponentes.(c)Siempre es menor o igual que la mitad del tiempo medio de vida de lascomponentes.(d)Puede ser mayor, igual o menor que la mitad del tiempo medio de vidade las componentes.Cadenas de Markov a tiempo continuo41.En una cadena de Markov a tiempo continuo, los tiempos entre llegadasconsecutivas:(a) Son variables acotadas.(b) Siguensiempreuna distribuci´on exponencial.(c) Pueden seguir o no una distribuci´on exponencial.(d) Vienen determinados por la distribuci´on estacionaria.42.¿Cu´al de las siguientes propiedades cumple la matriz de tasas de transici´onen una CMTC?(a) La suma por filas es constante en1.(b) Es sim´etrica.(c) Es la inversa de la distribuci´on estacionaria.(d) La suma por filas es constante en0.43. ¿Qu´e relaci´on hay entre las CMTC reversibles y las estacionarias?(a) Una CMTC reversible es estacionaria, pero el rec´ıproco no es cierto.(b) Una CMTC estacionaria es reversible, pero el rec´ıproco no es cierto.(c) Son lo mismo.(d) No hay ninguna implicaci´on entre los dos conceptos.9

44.Un proceso de nacimiento y muerte con tasas de nacimiento y muerte con-stantesλ, μ:(a) Siempre tiene distribuci´on estacionaria.(b) Tiene distribuci´on estacionaria si y s´olo siλ≤μ.(c) Tiene distribuci´on estacionaria si y s´olo siλ < μ.(d) Es imposible que la tasa de muerte sea constante.45. El proceso de Yule es un caso particular de proceso de Poisson.(a) Verdadero.(b) Falso.Teor´ıa de colas46.Un sistema con capacidad para 20 clientes acoge un modelo de colas en elque las llegadas siguen una distribuci´on de Poisson, el tiempo de servicio esconstante, hay 2 servidores y la disciplina de cola es FIFO. De acuerdo con lanotaci´on de Kendall, ¿c´omo se denotar´ıa este sistema?(a) M/M/3/20.(b) D/M/20/3.(c) D/M/3/20.(d) M/D/3/20.47.En un modelo con 3 servidores la tasa de llegada es de 10 clientes por horay el tiempo medio de servicio es de 0.2 horas. ¿Cu´al es la tasa de uso delservidor?(a) 2.(b) 50.(c) 2/3.(d) 0.2.48.En un modelo de colas la tasa de llegada es de 3 clientes por hora y el tiempomedio de servicio es de 15 minutos. Si el tiempo medio de permanencia en elsistema es de 20 minutos, ¿cu´al ser´ıa el n´umero medio de clientes en la cola?(a) 0.25.10

(b) 5.(c) 1/12.(d) 1.49. ¿Y el n´umero medio de clientes en el sistema?(a) 0.25.(b) 5.(c) 1/12.(d) 1.50.En un sistema los clientes deben pasar sucesivamente por 3 servicios de colas.El modelo matem´atico que se aplicar´ıa es:(a) Un modelo M/M/3.(b) Una red de Jackson cerrada.(c) Una red de Jackson abierta.(d) Un modelo de llegadas en masa.11

Soluciones1. (a)2. (c)3. (b)4. (d)5. (b)6. (d)7. (b)8. (d)9. (d)10. (a)11. (b)12. (c)13. (d)14. (b)15. (c)16. (a)17. (d)18. (b)19. (a)20. (b)21. (a)22. (c)23. (b)24. (b)25. (b)26. (c)27. (a)28. (b)29. (d)30. (c)31. (a)32. (c)33. (a)34. (b)35. (d)36. (a)37. (d)38. (b)39. (c)40. (b)41. (b)42. (d)43. (a)44. (c)45. (b)46. (d)47. (c)48. (a)49. (d)50. (c)12