PM IIIProgresión 1
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School
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Course
MATH CALCULUS
Subject
Mathematics
Date
Jan 14, 2025
Pages
8
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COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE BAJA CALIFORNIADIRECCIÓN DE PLANEACIÓN ACADÉMICAPLAN DE CLASETERCER SEMESTREUAC: PENSAMIENTO MATEMÁTICO IIINo. DE SESIONES:4PROGRESIÓN 1:Genera intuición sobre conceptos como variación promedio, variación instantánea, procesos infinitos y movimiento a través de la revisión de las contribuciones que desde la filosofía y la matemática hicieron algunas y algunos personajes históricos en la construcción de ideas centrales para el origen del cálculo.TEMÁTICA:Antecedentes del cálculoCATEGORÍAS:SUBCATEGORÍAS:C2Procesos de intuición y razonamiento.SC2.1Capacidad para observar y conjeturar.METAS DE APRENDIZAJEAPRENDIZAJES DE TRAYECTORIAM4.Observa y obtiene información de una situación o fenómeno para establecer estrategias o formas de visualización que ayuden a entenderlo.AT2. Adopta procesos de razonamiento matemático tanto intuitivos como formales tales como observar, intuir, conjeturar y argumentar, para relacionar información y obtener conclusiones de problemas (matemáticos, de la ciencias naturales, experimentales y tecnología, sociales, humanidades y de la vida cotidiana).CONTENIDOS DISCIPLINARES:1.1 Evolución Histórica del Cálculo:1.1.1. Aportaciones de matemáticos al cálculo.1.2. Concepto intuitivo de variación promedio y variación instantánea.ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE BAJA CALIFORNIADIRECCIÓN DE PLANEACIÓN ACADÉMICAApertura:El docente inicia la progresión con el encuadre del curso. Posterior a ello, hace una breve introducción a la evolución del cálculo, invitando a los alumnos leer y escuchar con detenimiento lo descrito en su guía de actividades relacionado con las aportaciones que realizaron algunas y algunos de los personajes históricos para el fortalecimiento de esta disciplina.A Isaac Newtony Gottfried W. Leibnizse les atribuye la invención del Cálculo, a partir de unificar el cálculo diferencial e integral y darle forma como disciplina matemática. Ambos matemáticos lo trabajaron de manera independiente, uno en Inglaterra, el otro en Alemania. El primero considerado un genio en la física clásica, mientras que Leibniz, el genio universal, se desarrolló con gran maestría en múltiples disciplinas.Casi todos los grandes matemáticos, tanto de la antigüedad como del siglo XVII, aportaron algo en la construcción del cálculo, pero hacía falta que llegara alguien que le diera claridad a todos los conceptos y los unificara. Tanto Newton como Leibniz dieron ese soporte cualitativo, aportando un método general, aplicable a cualquier problema.En definitiva el cálculo no hubiera alcanzado su desarrollo sin contar con la aportación de grandes matemáticos a través del tiempo, como lo veremos a continuación.Arquímedes, sin duda, el más grande matemático e inventor de la antigüedad, desarrolló procedimientos para calcular el área del círculo, longitud de un segmento de parábola, volumen y área de la esfera y del cono, así como para determinar el valor más aproximado de π. Su método de aproximaciones o exhaustivo es un acercamiento al cálculo integral.A inicio de la época moderna, el filósofo y matemático René Descartes se dio a la tarea de encontrar un método de pensamiento que diera coherencia al conocimiento. Para él, las matemáticas eran las indicadas para conducir a las ciencias a la verdad.En el año de 1637 publicó su obra de mayor importancia en el área de las matemáticas, “La géométrie”, cuyo objetivo es lograr la unificación de la antigua geometría con el álgebra, de esta manera, junto con Pierre de Fermat, crearon la Geometría Analítica.Pierre de Fermatrealizó trabajos sobre problemas de máximos y mínimos, que es un tema fundamental en el estudio del cálculo diferencial,
COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE BAJA CALIFORNIADIRECCIÓN DE PLANEACIÓN ACADÉMICAademás de realizar aportaciones en la teoría de las probabilidades y en la teoría de números con su teorema de Fermat.Años más tarde, el teólogo, profesor y matemático Isaac Barrow,contribuyócon sus cálculos de la tangente a una curva. En sus trabajos estableció que la derivación y la integración son procesos inversos.De manera casi simultánea a Isaac Newton, pero de forma independiente, Gottfried W. Leibnizrealizaba grandes aportaciones para la creación del Cálculo. Se le atribuye la invención de muchos de los símbolos matemáticos utilizados, tales como dydxpara la derivada, y el de ∫para la integral.El destacado matemático, médico y filólogo Johann Bernoulli, nació en Basilea, Suiza, en 1667. El abordó todo tipo de problemas de cálculo, incluyendo puntos de inflexión, longitud de curvas, series infinitas y técnicas de integración. Desarrolló el cálculo infinitesimal y escribió su primer libro de Cálculo entre 1691 y 1692.Considerado como el más prolífico autor de matemáticas de todos los tiempos, LeonardEulerrealizó contribuciones al cálculo en las funciones trascendentes, introduciendo el uso de la constante “e” como base de los logaritmos naturales. Demostró que “e” y e2son irracionales, descubriendo la relación eiπ=−1. La notación f(x)para función matemática se debe a Euler.El concepto de límite es el que dará mayor orden y claridad a esta disciplina del Cálculo diferencial y en ello hay que reconocer a Augustin Louis Cauchy, quien se diera a la tarea de dar una definición precisa de “función continua”. Y de igual manera, dar reconocimiento a Georg Friedrich Bernhard Riemann, de quien sobresalen sus trabajos de sumatorias y cálculo de área bajo una curva y la definición de integral definida, llamadas en su honor integral de Riemann.Una vez analizada la información de la guía, el docente solicita que se elabore una línea de tiempo en la que se describan los trabajos y aportaciones de los siguientes personajes y matemáticos que influyeron en la creación del Cálculo: Zenón, Arquímedes, René Descartes, Pierre de Fermat, Isaac Barrow; Isaac Newton, Gottfried W. Leibniz,Johann Bernoulli, Jakob Bernoulli, Leonard Euler, Augustin Louis
COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE BAJA CALIFORNIADIRECCIÓN DE PLANEACIÓN ACADÉMICACauchy, Georg Friedrich Bernhard Riemann, Lagrange, Legendré, entre otros.Solicita que se Incluya fotografía de los personajes y una breve descripción de su trabajo, no mayor a dos párrafos. Anotar fecha y lugar de nacimiento, estudios, aportaciones, datos curiosos o sobresalientes, etc.Sugerencia al docente: la actividad puede ser grupal, de manera que se repartan los personajes por equipos y entre todos se realice el collage en la línea de tiempo. Podrá solicitarse que en extraclase, por equipos, se elabore una parte del trabajo (época o personajes) y en la sesión de la clase se termine de elaborar la línea completa.Al término de la actividad solicita que se trabaje extraclase en la actividad 2Actividad 2Contesta brevemente cada una de las siguientes preguntas.1.¿Cuándo y dónde nació Arquímedes?2.¿En qué consiste el método exhaustivo y de qué manera lo utilizó Arquímedes?3.Explica la paradoja de Zenón: “Aquiles y la tortuga”4.¿Quién es considerado como padre de la filosofía moderna y creador del sistema de coordenadas?5.¿A qué matemático se le consideró el príncipe de las matemáticas?6.¿A quién se le atribuye el teorema del binomio, la teoría del color, las leyes del movimiento, la ley de la gravitación universal y los elementos matemáticos que lo atribuyen como uno de los creadores del Cálculo (1665-1666)?7.¿Qué hermano de Johann Bernoulli también es considerado un genio de las matemáticas y que aportaciones tuvo?8.Matemático que nació en Suiza, aportó en el desarrollo de las funciones trascendentes, introdujo el valor de “e” como base de los logaritmos naturales.9.A este matemático le debemos la idea de basar el Cálculo en el concepto de límite.10. Matemático y físico alemán, considerado el mayor inventor de símbolos matemáticos y uno de los fundadores del cálculo.Desarrollo:El docente hace una descripción gráfica de los conceptos de variación promedio y variación instantánea y desarrolla algunos ejemplos.
COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE BAJA CALIFORNIADIRECCIÓN DE PLANEACIÓN ACADÉMICASi deseamos describir cómo cambian las cantidades a lo largo del tiempo, es necesario determinar la tasa de cambio promedio o variación promedio. Mediante ella se encuentra qué tan rápido cambia una función con respecto a algo que cambia.Para encontrar la variación promedio, dividimos el cambio en y por el cambio en x. Lo que significa calcular la pendiente de la recta secante que pasa entre dos puntos o la rapidez con que un cuerpo se desplaza entre dos puntos en un intervalo de tiempo.Vp=m=f(b)−f(a)b−aVp=m=y2−y1x2−x1De igual manera, la variación promedio de un desplazamiento en relación al tiempo, descrito como rapidez, puede interpretarse con el esquema siguiente.v=f(t2)−f(t1)t2−t1v=d2−d1t2−t1Se continua desarrollando ejemplos de variación promedioCierre:
COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE BAJA CALIFORNIADIRECCIÓN DE PLANEACIÓN ACADÉMICASe cierra con la actividad 3 desarrollando los ejercicios de variación promedio y finalizando con la definición de variación instantánea.1.Hallar la variación promedio de la función f(x)=x2+2,en el intervalo [-1, 2]Primeramente determinamos las coordenadas correspondientes de los puntos en ese intervalo, posteriormente calculamos la variación promedio o pendiente de la recta que corta en esos dos puntos.La variación promedio en el intervalo [-1,2] es 12.Hallar la velocidad promedio o rapidez de un móvil que se desplaza de acuerdo a los datos registrados en la siguiente tabla.Se observa que a los 25 segundos había recorrido 300m y 20 segundos después ya había recorrido 460m desde el inicio de su recorrido.Calcularemos la variación promedio de velocidad o rapidez en esos dos puntos.Cuando se involucra el movimiento, la variable independiente es el tiempo t. La función de desplazamiento nos permite determinar su xy- 1326Tiempo(segundos)Distancia(m)2530045460f(−1)=(−1)2+2=1+2=3f(2)=(2)2+2=4+2=6Vp=m=6−32−(−1)=33=1Vp=r=460−30045−25=16020=8m/s
COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE BAJA CALIFORNIADIRECCIÓN DE PLANEACIÓN ACADÉMICAmovimiento en un intervalo de tiempo, y utilizando la derivada de esa función podemos calcular su variación instantánea o velocidad instantánea, y su aceleración con la segunda derivada de la función, procedimientos que miraremos en las siguientes progresiones.Actividad 31.Determina la variación promedio de la función f(x)=2x2−3,en el intervalo [-2, 3]2.Determina la variación promedio de la función f(x)=−x2−2x+2,en el intervalo [-4, 1]3.Halla la variación promedio en el intervalo [-2, 2] de acuerdo a la tabla mostrada.4.Una partícula se mueve de acuerdo a la ecuación de desplazamiento f(t)=−t3+4t2+4t−10,¿Cuál es su variación de velocidad promedio en el intervalo [1.5, 4] minutos?5.En mi camino a la ciudad, cuando llevaba 30 minutos de recorrido, la velocidad de mi automóvil era de 85 km/h. Exactamente a los 45 minutos de recorrido, la velocidad de mi auto era de 70 km/h. ¿Cuál es la velocidad promedio en este intervalo de tiempo?ESTUDIO INDEPENDIENTE DE LA PROGRESIÓNSe le solicita al estudiante investigar sobre las aportaciones de los matemáticos para el desarrollo del Cálculo.xy- 210427
COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE BAJA CALIFORNIADIRECCIÓN DE PLANEACIÓN ACADÉMICAEVALUACIÓN FORMATIVATRANSVERSALIDADInvestigaciónEjercicios escritosResolución de problemasRECURSOS DIDÁCTICOSREFERENCIAS BIBLIOGRÁFICASGuía de actividades del alumnoMaterial ilustrativoMaterial tecnológico para investigaciónLevy, J. (2016). La curiosa historia de las matemáticas. México: Editorial LIBSA. ISBN: 978-84-662-3397-2Purcell, E. y Varberg, D. (1992). Cálculo diferencial e integral. México: Prentice Hall Hispanoamericana.Purcell, E., Varberg, D. y. Rigdon, S. (2007). Cálculo diferencial e integral.PEARSON EDUCACIÓN, México. ISBN: 978-970-26-0989-6.Stewart, J. (2006). Cálculo. Conceptos y contextos.(4ta. Ed.). México: International Thomson Editores.Tasa de variación media e instantánea, recuperado de https://www.funciones.xyz/tasa-de-variacion-media-e-instantanea/